One Step Closer to a 'Grand Unified Theory of Math': Geometric LanglandsМонументальний доказ підтверджує геометричну гіпотезу ЛенглендсаЕріка Кларайх, 19 липня 2024
Група з дев’яти математиків довела геометричну гіпотезу Ленглендса [
https://www.wikiwand.com/en/articles/Geometric_Langlands_correspondence], ключову складову однієї з наймасовіших парадигм у сучасній математиці.
Доказ є кульмінацією трьох десятиліть зусиль, сказав Пітер Шольце (відкриває нову вкладку), видатний математик з Інституту математики Макса Планка, який не брав участі в доведенні. «Чудово бачити, як це вирішено».
Програма Ленглендса, започаткована Робертом Ленглендсом у 1960-х роках, є широким узагальненням аналізу Фур’є, далекосяжною структурою, у якій складні хвилі виражаються через плавноколивальні синусоїди.
Програма Ленглендса діє в трьох окремих областях математики: теорії чисел, геометрії та так званих функціональних полях.
Ці три параметри з’єднані мережею аналогій, які зазвичай називають математичним Розеттським каменем.
Тепер новий набір документів (відкриває нову вкладку) підтвердив гіпотезу Ленглендса в геометричній колоні Розеттського каменю.
«Жодна з [інших] налаштувань не підтвердила настільки вичерпний і потужний результат»,—сказав Девід Бен-Цві (відкриває нову вкладку) з Техаського університету в Остіні.
«Це прекрасна математика, найкраща у своєму роді»,—сказав Олександр Бейлінсон, один із головних прабатьків геометричної версії програми Ленглендса.
Доказ включає понад 800 сторінок, розподілених на п’ять документів.
Його написала команда під керівництвом Денніса Гейтсгорі (відкриває нову вкладку) (колега Шольце в Інституті Макса Планка) і Сема Раскіна (відкриває нову вкладку) з Єльського університету.
Гейтсгорі присвятив останні 30 років доведенню геометричної гіпотези Ленглендса.
Протягом десятиліть він і його співробітники розробили величезну роботу, на якій базується новий доказ.
Вінсент Лаффорг (відкриває нову вкладку) з Університету Гренобльських Альп порівняв ці досягнення з «морем, що піднімається», у дусі видатного математика XX-го ст. Александра Гротендіка, який говорив про розв’язання складних проблем шляхом створення навколо них моря ідей, що поступово піднімається.
Математикам знадобиться деякий час, щоб переварити нову роботу, але багато хто висловив упевненість, що основні ідеї правильні.
«Теорія має багато внутрішніх узгодженостей, тому важко повірити, що тут може бути помилка»,—сказав Лаффорг.
За роки, що передували доказу, дослідницька група створила не один, а багато шляхів до суті проблеми, сказав Бен-Цві. «Розуміння, яке вони розвинули, настільки багате і таке широке, що вони оточили проблему з усіх боків»,—сказав він. «У нього не було можливості втекти».
Велика об’єднана теоріяУ 1967 році Роберт Ленглендс (відкриває нову вкладку), тоді 30-річний професор Прінстонського університету, виклав своє бачення в рукописному 17-сторінковому листі до Андре Вейля, автора Розеттського каменю.
Ленглендс писав, що в стовпцях теорії чисел і функціональних полів Розеттського каменю можна було б створити узагальнення аналізу Фур’є з приголомшливим розмахом і потужністю.
У класичному аналізі Фур’є процедура, яка називається перетворенням Фур’є, створює відповідність між двома різними способами уявлення про графік хвилі (наприклад, звукової хвилі).
На одній стороні листування знаходяться самі хвилі.
(Ми будемо називати це стороною хвилі.)
До них належать як прості синусоїди (які в акустиці є чистими тонами), так і більш складні хвилі, які є комбінаціями синусоїд.
З іншого боку відповідності знаходиться спектр частот синусоїдальних хвиль, тобто їх висоти.
(Математики називають це спектральною стороною.)
Перетворення Фур'є повертається вперед і назад між цими двома сторонами.
В одному напрямку це дозволяє розбити хвилю на набір частот; в іншому, це дозволяє реконструювати хвилю з її складових частот.
Здатність подолати цей розрив є центральною для широкого спектру застосувань—без неї ми б не мали сучасних телекомунікацій, обробки сигналів, магнітно-резонансної томографії чи багатьох інших необхідних речей сучасного життя.
Ленглендс припустив, що щось подібне відбувається в колонках теорії чисел і функціонального поля Розеттського каменю, але з більш складними хвилями і частотами.
У кожному з цих стовпців окремо є сторона хвилі, яка складається з набору спеціальних функцій, аналогічних повторюваним хвилям.
Найчистіші з них, які називаються власними функціями (з німецької означає «характеристика»), відіграють роль синусоїд. Кожна власна функція має характерну частоту.
Але в той час як частота синусоїди—це одне число, частота власної функції—це нескінченний список чисел.
Є також спектральна сторона.
Він складається з набору об’єктів з теорії чисел, які, як стверджував Ленглендс, позначають спектр частот власних функцій.
Він запропонував процедуру, подібну до перетворення Фур’є, яка з’єднує хвильову та спектральну сторони.
«Це диво,—сказав Бен-Цві.
«Апріорі це не те, на що ми мали підстави очікувати».
Хвилі та їх частотні мітки походять із дуже різних сфер математики, тому відповідність між ними, якщо це можна довести, часто приносить щедру винагороду.
Наприклад, доказ відповідності теорії чисел Ленглендса для порівняно невеликої колекції функцій у 1990-х роках дозволив Ендрю Вайлсу та Річарду Тейлору довести останню теорему Ферма, яка протягом трьох століть була одним із найвідоміших відкритих питань у математиці.
Програму Ленглендса почали розглядати, за словами Едварда Френкеля (відкриває нову вкладку) з Каліфорнійського університету в Берклі, як «велику об’єднану теорію математики».
Проте, навіть коли математики спрямовували свої зусилля на доказ все більших і більших фрагментів бачення Ленглендса, вони усвідомлювали, що це бачення було неповним.
Здавалось, він не міг розповісти про хвилі та їх позначки частот у третій колонці Розеттського каменю—частині геометрії.
ПіщинкаЗ самого початку роботи Ленглендса математики мали уявлення про те, як має виглядати спектральна сторона геометричної відповідності Ленглендса.
Цей третій стовпець Розеттського каменю Вейля стосується компактних поверхонь Рімана, які є сферами, пончиками та пончиками з кількома отворами.
Дана поверхня Рімана має відповідний об’єкт, який називається її фундаментальною групою, яка відстежує різні шляхи, якими петлі можуть обертатися навколо поверхні.
Математики підозрювали, що спектральна сторона геометричної відповідності Ленглендса повинна складатись з певних дистиляцій фундаментальної групи, відомої як її «уявлення».
Якби відповідність Ленглендса виявилась в геометричному стовпчику Розеттського каменю, тоді кожне представлення фундаментальної групи поверхні Рімана мало б бути частотною міткою—але чого?
Математики не змогли знайти жодної колекції власних функцій, частоти яких, здавалось би, позначені уявленнями фундаментальної групи.
У 1980-х роках Володимир Дрінфельд (відкриває нову вкладку), який зараз працює в Чиказькому університеті, зрозумів, що можна створити геометричну відповідність Ленглендса, замінивши власні функції складнішими об’єктами, які називаються власними пучками—хоча на той час він знав, як побудувати лише деякі з них.
Пучки набагато більш езотеричні, ніж функції, і теоретики чисел не знали, що робити з цим запропонованим геометричним кузеном відповідності Ленглендса.
Але геометрична програма Ленглендса, попри незрозумілість її хвильової сторони, має одну велику перевагу перед версією Ленглендса з теорії чисел.
У геометричному Ленглендсі частота власного пучка регулюється точками на поверхні Рімана, і кожна точка на сфері чи бублику виглядає досить схожою з близької відстані.
Але в теорії чисел Ленглендса частоти визначаються простими числами, і кожне просте число має унікальні якості. Математики не знають, «як гарно переходити від одного простого числа до іншого»,—сказала Ана Караяні, теоретик чисел з Імперського коледжу Лондона.
Ріманові поверхні відіграють велику роль у фізиці, зокрема в конформній теорії поля, яка керує поведінкою субатомних частинок у певних силових полях.
На початку 1990-х Бейлінсон і Дрінфельд показали, як використовувати конформну теорію поля для побудови певних особливо гарних власних пучків.
Зв’язок із конформною теорією поля дав Бейлінсону та Дрінфельду можливість почати думати про те, як створити версію аналізу Фур’є для пучків.
«Це маленька піщинка, навколо якої кристалізується»,—сказав Бен-Цві.
Бейлінсон і Дрінфельд виклали глибоке бачення того, як має працювати геометрична відповідність Ленглендса.
Справа не тільки в тому, що кожне представлення фундаментальної групи повинно позначати частоту одного власного пучка.
Це листування, на їхню думку, також має поважати важливі відносини з обох сторін, перспективу, яку Бейлінсон і Дрінфельд назвали «найкращою надією».
У середині 1990-х років Бейлінсон прочитав серію лекцій про цю картину, що розвивається, в Тель-Авівському університеті. Гейтсгорі, тодішній аспірант, впивався в кожне слово.
«Я отримав відбиток, як у щойно вилупленого каченяти»,—згадував Гейтсгорі.
Упродовж 30 років геометрична гіпотеза Ленглендса була головною рушійною силою математичної кар’єри Гейтсгорі.
«Всі ці роки ми працювали безперервно, наближались все ближче, розробляли різні інструменти»,—сказав він.
Море, що піднімаєтьсяБейлінсон і Дрінфельд висловили свою здогадку лише вільно, і виявилось, що вони були занадто спрощеними щодо того, як мають працювати стосунки в їхній «найкращій надії».
У 2012 році Гейтсгорі та Діма Арінкін (відкриває нову вкладку) з Університету Вісконсіна, Медісон, з’ясували, як перетворити «найкращу надію» на точне припущення (відкриває нову вкладку).
Наступного року Гейтсгорі написав нарис (відкриває нову вкладку) того, як міг би пройти доказ геометричної гіпотези Ленглендса.
Ця схема спиралась на безліч проміжних тверджень, багато з яких ще не були доведені.
Гейтсгорі та його співробітники вирішили це довести.
Протягом наступних кількох років Гейтсгорі та Нік Розенблюм (відкриває нову вкладку) з Університету Торонто написали дві книги (відкриває нову вкладку) про снопи загальною кількістю майже 1000 сторінок.
Лише один раз у двотомнику навіть згадується геометрична програма Ленглендса.
«Але його метою було закласти фундамент, який ми зрештою дуже інтенсивно використовували»,—сказав Гейтсгорі.
Коли у 2020 році спалахнув Covid-19, Ґейтсгорі раптово виявив, що його календар порожній.
«Я провів три місяці, коли лежав на ліжку й просто роздумував»,—сказав він.
Таке мислення зрештою призвело до статті шести авторів (відкриває нову вкладку), яка, хоч і стосувалась головним чином стовпця функціонального поля програми Ленглендса, містила зародок того, що пізніше стане ключовим компонентом доказу геометричної гіпотези Ленглендса:
спосіб зрозуміти, як кожен власний пучок впливає на те, що ми можемо вважати «білим шумом».
У класичній обробці сигналу звукові хвилі складаються з синусоїдальних хвиль, частоти яких відповідають висоті звуку. Недостатньо знати, яку висоту містить звук—ви також повинні знати, наскільки голосною є кожна висота.
Ця інформація дозволяє записати ваш звук як комбінацію синусоїдальних хвиль:
просто почніть із синусоїдальних хвиль амплітудою 1, потім помножте кожну синусоїдну хвилю на відповідний коефіцієнт гучності, перш ніж складати синусоїдні хвилі.
Сума всіх різних синусоїдальних хвиль амплітуди 1–це те, що ми зазвичай називаємо білим шумом.
У світі геометричної програми Ленглендса власні пучки повинні грати роль синусоїдальних хвиль.
Гейтсгорі та його співробітники виявили щось під назвою пучок Пуанкаре, який, здавалось, виконує роль білого шуму.
Але дослідники не знали, чи кожен власний пучок взагалі представлений у пучку Пуанкаре, якщо згадувати про те, чи всі вони мають однакову амплітуду.
Навесні 2022 року Раскін разом зі своїм аспірантом Йоакімом Фергеманом показали, як використати ідеї в статті шести авторів, щоб довести (відкриває нову вкладку), що кожен власний пучок дійсно вносить вклад у пучок Пуанкаре.
«Після статті Сема та Йоакіма я був упевнений, що ми зробимо це протягом короткого періоду часу»,—сказав Гейтсгорі, доводячи геометричну гіпотезу Ленглендса.
Дослідникам потрібно було показати, що всі власні пучки вносять однакові внески в пучок Пуанкаре, і що представлення фундаментальної групи позначають частоти цих власних пучків. Найскладнішою частиною, як вони зрозуміли, було поводження з уявленнями фундаментальної групи, які називаються незвідними уявленнями.
Рішення для цих незвідних уявлень прийшло до Раскіна в момент, коли його особисте життя було наповнене хаосом.
Через кілька тижнів після того, як вони з Фергеманом опублікували свою роботу в Інтернеті, Раскіну довелось терміново доставити свою вагітну дружину до лікарні, а потім повернутись додому, щоб відвести сина в перший день у дитячий садок.
Дружина Раскіна залишалась в лікарні до народження їхньої другої дитини через шість тижнів, і протягом цього часу життя Раскіна оберталось навколо нормального життя його сина та нескінченних поїздок між домом, школою його сина та лікарнею.
«Все моє життя було автомобілем і турботою про людей»,—сказав він.
Під час поїздок він телефонував Гейтсгорі, щоб поговорити про математику. Наприкінці першого з тих тижнів Раскін зрозумів, що він може звести проблему незвідних репрезентацій до доведення трьох фактів, які всі доступні.
«Для мене це був дивовижний період,—сказав він.
Його особисте життя було «сповнене тривогою і страхом перед майбутнім.
Для мене математика завжди є основоположною та медитативною річчю, яка позбавляє мене такого роду тривог».
На початку 2023 року Гейтсгорі та Раскін разом з Арінкіним, Розенблюмом, Фергеманом та чотирма іншими дослідниками мали повний доказ «найкращої надії» Бейлінсона та Дрінфельда, модифікований Гейтсгорі та Арінкіним.
(Інші дослідники—Даріо Беральдо (відкриває нову вкладку) з Університетського коледжу Лондона, Лін Чен (відкриває нову вкладку) з Університету Цінхуа в Пекіні, Джастін Кемпбелл (відкриває нову вкладку) і Кевін Лін (відкриває нову вкладку) з Чиказького університету.)
Команді знадобився ще рік, щоб написати доказ, який вони опублікували в Інтернеті в лютому.
Хоча документи дотримуються аспектів плану, розробленого Гейтсгорі ще в 2013 році, вони обидва спрощують його підхід і багато в чому виходять за його межі.
«Дуже яскраві люди внесли багато нових ідей у це визначне досягнення»,—сказав Лаффорг.
«Вони не просто пішли і довели це»,—сказав Бен-Цві.
«Вони створили навколо нього цілі світи».
Береги на обріїДля Ґейтсгорі здійснення його багаторічної мрії ще далеко не кінець історії. На математиків чекає безліч подальших завдань —глибше дослідити зв’язок із квантовою фізикою, поширити результат на поверхні Рімана з проколами та з’ясувати наслідки для інших колон Розеттського каменю.
«Це (принаймні мені) більше схоже на те, що один шматок великої скелі відколовся, але ми все ще далекі від ядра»,—написав Гейтсгорі в електронному листі.
Дослідники, які працюють у двох інших колонках, зараз прагнуть перекласти те, що можуть.
«Той факт, що один із головних фрагментів впав, мав би мати серйозні наслідки для листування Ленглендса»,—сказав Бен-Цві.
Не все може бути перенесено—наприклад, у теорії чисел і налаштуваннях функціонального поля немає аналогів ідеям конформної теорії поля, які дозволили дослідникам побудувати особливі власні пучки в геометричному налаштуванні.
Значна частина доказу потребує серйозних коригувань, перш ніж її можна буде змусити працювати в інших двох колонках, попередив Тоні Фенг (відкриває нову вкладку) з Берклі.
За його словами, ще належить побачити, чи «ми зможемо навіть перенести ідеї в інший контекст, де вони не повинні працювати».
Але багато дослідників налаштовані оптимістично, що море ідей, що зростає, зрештою досягне й інших сфер.
«Це просочиться крізь усі бар’єри між предметами»,—сказав Бен-Цві.
В останнє десятиліття дослідники почали виявляти несподівані зв’язки між геометричною колоною та двома іншими.
«Якби [геометрична гіпотеза Ленглендса] була доведена 10 років тому, то результати були б зовсім іншими»,—сказав Фенг.
«Не було б оцінено, що це потенційно могло мати розгалуження за межами спільноти [геометричного Ленглендса]».
Гейтсгорі, Раскін та їхні співробітники вже досягли прогресу в перекладі свого геометричного доказу Ленглендса в стовпець функціонального поля.
(Деякі відкриття, зроблені Гейтсгорі та Раскіним під час довгих поїздок останнього на автомобілі, «ще попереду», натякнув Раскін.)
У разі успіху цей переклад доведе набагато точнішу версію функціонального поля Ленглендса, ніж математики знали або навіть припускали раніше.
Більшість перекладів із колонки геометрії до колонки теорії чисел проходять через функціональні поля.
Але в 2021 році Лоран Фарг з Математичного інституту Жюссьє в Парижі та Шольце розробили те, що Шольце назвав червоточиною, яка переносить ідеї з геометричної колони безпосередньо до частини програми Ленглендса з теорії чисел.
«Я точно один із тих, хто зараз намагається перекласти всі ці геометричні речі Ленглендса»,—сказав Шольце.
Оскільки море, що піднімається, розлилось на тисячі сторінок тексту, це нелегка справа.
«Зараз я відстав на кілька статей,—сказав Шольце,—коли намагався прочитати, що вони зробили приблизно у 2010 році».
Тепер, коли дослідники геометричної теорії Ленглендса нарешті написали свій довгий доказ, Караяні сподівається, що вони матимуть більше часу, щоб поговорити з дослідниками з боку теорії чисел.
«Люди мають дуже різні способи мислення про речі, і завжди є користь, якщо їм вдається уповільнити темп, поговорити один з одним і побачити перспективу іншого»,—сказала вона.
Це лише питання часу, передбачила вона, коли ідеї з нової роботи проникнуть у теорію чисел.
Як сказав Бен-Цві:
«Ці результати настільки надійні, що коли ви починаєте, важко зупинятись».
https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
